Лекция 9.
- §16. Изолированные особые точки однозначной
аналитической функции.
- 1.
Устранимые особые точки. Полюс.
- 2.
Существенно особая точка. Теорема
Сохоцкого-Вейерштрасса.
1.
Устранимые особые точки. Полюс.
Определение. Точка z 0 называется изолированной особой точкой
функции f(z), если f(z) однозначная и 
C
(0<|z-z0|<
r (z0 )), а
точка z 0 является особой
точкой функции f(z).
Другими словами, точка z 0 называется изолированной особой точкой
функции f(z), если $ такая окрестность точки z 0 , в которой нет других особых точек функции f(z).
В самой особой точке z
0 функция f(z) может быть не
определена. Функцию f(z) в окрестности точки z 0
можно разложить в ряд Лорана, сходящийся в кольце
0<|z-z0|< r (z0
). Поведение функции f(z) в окрестности точки z
0 определяется главной частью
ряда Лорана Q(z)=
.
Важное замечание В малой окрестности точки ветвления и
неизолированной особой точки вообще нельзя раскладывать в ряд
Лорана!
Возможны три случая:
a) Для " n>0 c-n=0; Q(z)=0; f(z)
c0 при z
z0- устранимая особая
точка. z0 - правильная точка f(z). Если функция не определена
в точке z 0 , то ее можно доопределить по непрерывности, положив f(z
0)=c0 . В окрестности устранимой особой точки 0<|z-z
0|< r (z0) : | f(z)|<M и
f(z)=(z-z 0)m j (z), m
0- целое, j
(z0)
0; и если 
f(z)=0, то z
0 - нуль m- того порядка.
Теорема 16.1
Если f(z) C(0<|z-z0|<
r (z0 )) и
|f(z)|<M при 0<|z-с|< r (z0
), то z 0 - устранимая особая точка.
Доказательство. Разложим f(z) в ряд Лорана и
рассмотрим выражение для коэффициентов главной части. c
-n=
, n>0. В качестве контура интегрирования выберем круг
с центром в точке z 0 и радиуса
r : | x
-z0|= r . Тогда , сделав замену x
-z0= r ei j
, d x =i r
ei j d j
и учтя, что |e in j |=1, получим оценку: |c
-n|< r M r
n-1 0 при r 0. Т.к. значения c -n не зависят от r , то c -n=0. n
b) Ряд Лорана функции f(z) в
окрестности ее изолированной особой точки содержит конечное число членов с
отрицательными степенями; Q(z)=
;
c-m0.
f(z) при z
z0- п олюс порядка m, f(z)=
; y (z0)0
Теорема 16.2
Если f(z)C(0<|z-z0|<
r (z0)), z0 - изолированная особая точка f(z) и |f(z)|=>при z z0 (независимо от способа стремления z к z
0 ), то z 0
- полюс f(z).
Доказательство. |f(z)|=> при z z0
=> для "
A>0 $e : 0<|z-z0|< e , |f(z)|>A; Рассмотрим
g(z)=1/f(z); g(z) C(0<|z-z0|<
e ); |g(z)|<1/A=M => z0 - устранимая
особая точка g(z) (по Теореме
16.1) ; => g(z)=(z-z0)m j
(z), m0 , j (z0) 0 => f(z)= ; y (z0)0 n
2. Существенно
особая точка. Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса.
c) Точка z 0 называется существенно особой точкой функции f(z),
если ряд Лорана функции f(z) в окрестности ее изолированной особой точки z
0 содержит бесконечно много
членов с отрицательными степенями разности (z-z 0 ). (Бесконечное число коэффициентов c-n 0). Поведение аналитической функции в окрестности
существенно особой точки описывается следующей теоремой.
Теорема
Сохоцкого-Вейерштрасса Для " комплексного числа B и "e >0, в "h - окрестности существенно особой точки z
0 0<|z-z0|< h $
z1: |f(z1)-B|< e
.
Доказательство . (От
противного) Пусть $ такие e
0 и h
0: для "
z 0<|z-z0|< h
0; |f(z)-B|> e 0. Рассмотрим g(z)=1/[f(z)-B]=>
|g(z)|=1/|f(z)-B|<1/ e 0=M. =>
z0 - устранимая особая точка g(z) (по
Теореме 16.1); => g(z)=(z-z0)m j
(z), m0 , j (z0) 0 => f(z)=B+ ; y (z0)0 => z0- полюс f(z) m0, или
правильная точка при m=0. Получили
противоречие. n
Замечание 1. { h
n}0
=>{z(n)1}z0. {f(z(n)1)}B=> в
окрестности существенно особой точки можно выбрать
{z(n)1}z0 такую, что {f(z(n)1)} сходится к " наперед заданному числу.
Пример . f(z)=e1/z точка z=0 - существенно особая.
Классификация изолированных особых точек на
языке пределов.
Пусть z0 - изолированная особая точка
f(z)C(0<|z-z0|<
r (z0)).
a) Если при z из окрестности 0<|z-z0|< r (z0) и при
zz0 f(z)c0
|c0|<, то z 0 - устранимая особая точка f(z).
b) Если при z из окрестности 0<|z-z0|< r (z0) и при
zz0
f(z), то
z 0 - полюс
f(z).
c) Если
при z из окрестности
0<|z-z0|< r (z0)
и при zz0 f(z) не имеет конечного или бесконечного предела, то z
0 - существенно особая
точка f(z).
Определение . z является изолированной особой точкой однозначной
аналитической функции, если $ R>0 : для " z : |z|>R f(z)
не имеет особых точек, находящихся на конечном
расстоянии от точки z=0.
Ряд Лорана в
окрестности z : f(z)=
cnzn, R<|z|<.
a)
z называется устранимой особой точкой f(z),
если все cn =0 при n>0
f(z)=
cnzn
, или $ конечный предел f(z) при z .
b)
z
называется полюсом f(z) если ряд
Лорана функции f(z) в окрестности z содержит конечное число членов с
положительными степенями f(z)=
cnzn,
(m>0) или f(z) при z .
c) Точка z называется существенно особой точкой
функции f(z), если ряд Лорана функции f(z) в окрестности z содержит бесконечно много членов с положительными
степенями z: f(z)=cnzn
, или при z у f(z) н ет
конечного или бесконечного предела.